Lebesgueova miera

Lebesgueova miera predstavuje v matematike štandardný postup, ktorým je podmnožine Euklidovho priestoru priradená dĺžka, obsah plochy alebo objem. Lebesgueova miera je zovšeobecnením pojmu objem (popr. obsah alebo dĺžka).

Lebesgueova miera sa uplatnila pri definícii Lebesgueovho integrálu.

Označuje sa podobne ako miera, napr. $\mu (\mathbf {M} ),\mu \mathbf {M} ,\operatorname {m} \mathbf {M} ,\operatorname {mes} \mathbf {M}$, popr. $\operatorname {meas} \mathbf {M}$. Ak je potrebné zdôrazniť, že ide o Lebesgueovu mieru, možno symbol $\mu$ nahradiť symbolom $\lambda$.

Množiny, ktorým možno priradiť lebesgueovu mieru sa označujú ako lebesgueovsky merateľné.

Lebesgueova miera bola zavedená francúzskym matematikom Henri Lebesguem.

Merateľná množina

• Miera prázdnej množiny je definitoricky rovná nule, tzn. $\mu (\emptyset )=0$.
• Miera (otvoreného alebo uzavretého) intervalu je rovná jeho dĺžke, tzn. $\mu (a,b)=\mu \langle a,b\rangle =\mu (a,b\rangle =\mu \langle a,b)=b-a$
• Lebesgueova miera karteziánskeho súčinu intervalov $\mathbf {M} _{1}\times \mathbf {M} _{2}\times ...\times \mathbf {M} _{n}$ je rovná súčinu dĺžok jednotlivých intervalov. Ak označíme dĺžku i-teho intervalu ako $|\mathbf {M} _{i}|$, potom $\mu (\mathbf {M} _{1}\times \mathbf {M} _{2}\times ...\times \mathbf {M} _{n})=|\mathbf {M} _{1}|\cdot |\mathbf {M} _{2}|\cdots |\mathbf {M} _{n}|$
• Miera disjunktných intervalov $\mathbf {M} _{k}$ je rovná súčtu $\sum _{k}\mu (\mathbf {M} _{k})$.
• Vonkajšou Lebesgueovou mierou $\mu ^{*}(\mathbf {M} )$ neprázdnej množiny $\mathbf {M}$ označujeme infimum mier všetkých ohraničených otvorených množín $\mathbf {P}$, ktoré obsahujú množinu $\mathbf {M}$, tzn.

$\mu ^{*}(\mathbf {M} )=\inf _{\mathbf {M} \subset \mathbf {P} }\mu (\mathbf {P} )$

• Ako vnútornú Lebesgueovu mieru $\mu _{*}(\mathbf {M} )$ neprázdnej množiny $\mathbf {M}$ označujeme suprémum mier všetkých ohraničených uzavretých množín $\mathbf {Q}$, ktoré sú obsiahnuté v množine $\mathbf {M}$, tzn.

$\mu _{(}\mathbf {M} )=\sup _{\mathbf {Q} \subset \mathbf {M} }\mu (\mathbf {Q} )$

• Pre neprázdnu ohraničenú množinu $\mathbf {M}$ platí

$0\leq \mu _{*}(\mathbf {M} )\leq \mu ^{*}(\mathbf {M} )$

• Ak platí $\mu ^{*}(\mathbf {M} )=\mu _{*}(\mathbf {M} )$, potom množinu $\mathbf {M}$ označíme ako merateľnú v Lebesgueovom zmysle alebo skrátene (lebesgueovsky) merateľnú. Spoločnou hodnotou tejto miery potom nazývame (Lebesgueovou) mierou, tzn.

$\mu (\mathbf {M} )=\mu ^{*}(\mathbf {M} )=\mu _{*}(\mathbf {M} )$

• Miera spočítateľnej množiny, teda i množiny obsahujúcej konečný počet prvkov, je nulová. Nespočítateľné množiny môžu mať nenulovú mieru, existují však i nespočítateľné množiny s mierou nula. Okrem množín, na ktorých možno definovať mieru, ktoré označujeme ako merateľné, existujú tiež množiny, na ktorých mieru nemožno definovať. Tieto množiny nazývame nemerateľné.

Merateľná funkcia

Funkciu $f(x)$, ktorá je definovaná na (ohraničenej) merateľnej množine $\mathbf {M}$ označíme ako (lebesgueovsky) merateľnú, ak je množina všetkých bodov $x\in \mathbf {M}$ spĺňajúcich $f(x)<C$ merateľná pri ľubovoľnej voľbe čísla C.

Každá spojitá alebo po častiach spojitá funkcia je tiež merateľná.